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“役に立つ数学” フーリエ解析


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 中高生時代に「数学は役に立たない」、「数学やって意味あんの」なんて思った人たちは多いことだろう。実際に、私たちが直接目に見える形で、しかも一般的な人たちにもわかる形で数学が私たちの社会を支えている状況を目にすることは少ない。しかし、現実には様々な数学的手法、分野が私たちの現代社会を支えるのに一役買っている。その代表的なものがフーリエ解析である。今回は、そのフーリエ解析についてどういったものか(数学的表現は用いません)、どんな場面で用いるのかを中心に説明しようと思う。

1. フーリエ解析とは何か?

 まず、フーリエ解析とは何か?一言で言うとフーリエ解析とは、

「フーリエ級数展開」や「フーリエ変換」などの数学的テクニックを用いて、「複雑な波」を「単純な波の足し合わせ」であらわし、さまざまな波や信号を解析する手法

である。具体例としては、よく車の中で音楽などを流しているときにオーディオ機器に下のグラフィックが表示されている場合がある(図1)。このグラフィックは、流れている音(音波)がどのような周波数(つまり音の高さ)で構成されているかを解析して、周波数を横軸、その周波数の音の振幅(音の大きさ)を縦軸とおいたグラフを表している(振幅と時間で表されている波を周波数と振幅という2つの変数で表すように変換する方法をフーリエ変換という)。

流れている音楽がどのような周波数の音がどういった割合で構成されているのかを解析している 出典 https://autos.goo.ne.jp/car-i/articles/ZN1z5

以上の説明より、フーリエ解析とは主にを解析するための手法であることがわかる。このというのがとても重要であり、現代社会ではあらゆる情報が音や光などの波を用いてやりとりされているので、この波を解析できるフーリエ解析という手法がとても重要なのである。

2. フーリエ解析がどういった分野で用いられているか

 フーリエ解析は、いわゆる波全般(音、光など)を解析する際に用いる手法であるため、その汎用性も著しく高い。例えば、デジタル画像の圧縮技術の1つでJPEGというものがある。JPEGでは、フーリエ解析を用いて元の画像を周波数成分へと分解する(ここでいう画像の周波数成分とは、その画像の模様の細かさという認識で問題ない)。周波数成分に分解した後、人間の視覚では認識しづらい高周波数成分をカットするなど、さまざまな方法でデータ量を圧縮することができる。このような方法で、画質をなるべく落とさずデータ量を圧縮する仕組みがJPEGである。音楽CDに収録するデジタル音源や、MPEGというデジタル動画形式も、基本的にJPEGと同じ方法によってデータ量を圧縮している。以下にフーリエ解析が使われている分野をざっとまとめてみた。

  1. AMラジオ、FMラジオ
  2. 携帯電話の通信
  3. Wi-Fi
  4. AIの音声認識
  5. ボーカロイドの音声合成
  6. 地震波の分析(どの周波数の地震波が建物を揺らしやすいかなど)
  7. 量子力学(粒子の場所と運動量について)

り詳しく知りたい人向け

http://www.ic.is.tohoku.ac.jp/~swk/lecture/yaruodsp/fs.html

https://www.yukisako.xyz/entry/fourier-transform

参考記事

ニュートン 2018年 7月号

図解雑学 フーリエ変換

 

 

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